이번에 논술파이널을 끝내고 집에서 쉬려다가 그다지 쉬는 방법을 모르고 앨범을 보다가 예전에 따놓은
인터넷검색기사 1급 자격증을 보고 가슴에 뜨겁에 타오르는 전문가의 자존심으로... 가장 질문이 많았던 행렬을 정리해보았습니다.
생각보다 검색으로 글을 정리하는 것은 재미있기도 하고 시간이 많이 걸리기도 합니다.
행렬로 검색하시면 대략 64개의 리스트없이 뜨고, 15개의 글이 뜨니 960개의 글을 일일이 열어보느듯합니다. (뭐 거의 의지의 한국인인듯...)
글을 읽으면서 잘못된 게시판에는 수정한답을 올려두었습니다. 아무래도 검색하시다가 잘못된 것들을 읽고 잘못알 수 도 있으니 말이죠...생각보다 같은 질문이 정말 많습니다. 그리고 신기하게도 같은 분들이 열성적으로 답글을 달아두시구요..
혹시나 여기에 오르지 못한 좋은 글은 꼬리말로 이야기해주시면 버전업하겠습니다.
영인자에 대한 질문
1. 행렬의 곱에 대한 분류 (이차정사각행렬)
영인자와 역행렬에 대한 이야기 - 세가지소원샘 질문
A가 영인자 이면 A는 역행렬을 가지지 않는다고 말할 수 있는데요.
여기서 질문... 위 명제의 역은 성립을 하는 걸까요? ' A가 역행렬을 가지지 않는다면 그 A는 항상 영인자이다.
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26038
쿠쿠리샘의 답변: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26041
짜짜로니샘 질문:영인자는 역행렬이 존재하지 않는데 왜 그런가요?
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/15537
xiazhen샘질문: 영인자는 역행렬인 항상 없는것인가요?
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/10650
[수능 박중희 샘 코멘트]
두 분에 대한 답변을 말하면 영인자는 역행렬이 존재하지 않습니다. 그리고 항상 역행렬이 없는 것입니다. 행렬의곱의 결과를 분류하면 역행렬이 존재하는 것과 영인자가 존재하는 것과 영행렬 이렇게 3가지로 분류됩니다.
행렬에서 영인자는 역행렬이 존재하지 않는다 증명 http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/47847
코멘트:
영인자는 단독으로 사용하기 어려운 개념입니다.
O행렬이 아닌 두행렬의 곱이 영행렬일 때 곱해지는 각각의 행렬을 영인자라고 하거든요..
따라서 행렬 A가 영인자이다란 표현보다 행렬 A가 (영행렬이 아닌 어떤 행렬과 곱해져서 영행렬이 될 수 있기 때문) 영인자가 될 수 있다고 하는 것이 더 좋은 표현이 될 거 같습니다.
실수의 연산이 오히려 영인자가 없는 아주 예쁜 성질을 가지고 있는 것이지 다른 대수적인 물건들은 이런 영인자들이 비일비재하거든요.. 행렬도 그러한 예 중 하나구요.. (by 라임샘)
2.
마수리샘 : A(A+E)=O이라서 A와 A+E는 영인자 이므로 두 행렬은 모두 역행렬이 존재 하지 않는 것 아닌가여? http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/22577
| [대표질문]A(A+E)=O이라서 A와 A+E는 영인자 이므로 두 행렬은 모두 역행렬이 존재 하지 않는 것 아닌가여? |
| [ 수능 박중희샘 코멘트 ]
A(A+E)=0에서 A와 A+E가 둘다 영인자라고만 단정지을 수 없습니다. 역행렬이 존재하는 경우를 분류해보는 것이 좋습니다. 따라서 존재할 수도 있고 안할 수도 있답니다. 둘이 곱해서 영이 되는 것이므로, 영행렬과 영인자로 가정하여 분류한 후에 각각 역행렬이 존재하는 경우는 곱해진 다른 것이 영행렬이 되는 경우입니다. 따라서 위의 경우 A+kE꼴로 주어진 행렬의 경우 k가 0,-1만 아니라면 항상 역행렬이 존재하게 되는 것입니다. (보다 정확한 증명은 케일리 해밀턴의정리를 활용해서 증명하세요 ) |
수능잼뱅샘의 질문: A^3=A 이면 A, A+E, A-E 중 적어도 하나는 역행렬을 갖는다.(참}
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/12547
이차식의 인수중에서는 적어도 하나는 역행렬을 갖지 않는다가 참입니다.
위의 경우처럼 3개의 경우에는 적어도 하나는 역행렬을 가질 수 있습니다. (수정)
수학만세샘의질문:
역행렬이 존재하는 행렬 곱하기 역행렬이 존재하지 않는 행렬 의 결과 행렬의 역행렬이 존재하는가?? http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/33894
존재하지 않습니다. det(A)=a, det(B)=0, 이면 det(AB)=det(A)*det(B)=0 이고, AB의 역행렬은 존재하지 않습니다.
진달래샘질문: 임의의 이차정사각행렬 A는 반드시 영인자를 갖는가?
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/27023
한길샘: 딱잘라서..아니요~~~~ 설명은 페이지로 가셔서
[자주 물어보는 증명 ]
실버샘의 질문: 
A3=0 이면 A2=0이다가 왜 참인가요? 역행렬이 존재한다는 전제가 없는데
3월의토끼샘질문: A3=0 일 때 A2=0임 어떻게 성립하나요?
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26832
라꾸라꿈샘 같은 질문: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/24782 (다른샘들 풀이 있음)
ykj9236샘의 같은 질문: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/14101
하얀발님의 증명: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/15689
업데이트!!
이차 정사각행렬 A,B에대하여 AB-BA=A이면 A^2=0이다가 참이면 증명 틀리면 반례를 드시오.
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/38647 한길샘 질문 (장국영샘, mathusic샘증명)
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/38678 쿠쿠리샘의 증명
| [대표질문] 모든 성분이 실수인 행렬 A에서 A3=E이면 A=E 또는 A2+A+E=O이다 |
|
[수능 박중희 샘 코멘트 ] 1. 이것은 항상 참입니다. (케일이 해밀턴정리)- 밑에 증명이 있습니다. 2. 반례는 복소수에 있습니다. 3. 고등과정은 항상 성분이 실수인 것만을 다룬다고 합니다.(정석같은 책의 경우) 하지만 이것은 어디까지나 묵계적으로 그렇다고 믿고 있는 것이지 약속으로 된 것은 아니라고 봅니다. 고등학교 과정은 분명히 복소수를 다루고 있으니까 말이죠. 수능평가원 문제도 복소수범위를 다루는 문제가 많으니 정확히 문제로 주어지면 명확히 범위를 주도록 되어 있습니다. |
동초샘질문: 모든 성분이 실수인 행렬 A에서 A3=E이면 A=E 또는 A2+A+E=O이다 가 참인 이유를 설명해주세요 ?
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26515 (장국영샘의 답글이 있습니다. )
질문: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/35792
추가문항: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/36120 모의고사문제로 질문한 것....
메루치아라치샘의 같은 질문: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/24560
먼저 중요한 것은 위의 명제는 성분에 대한 언급이 없으므로 참이 아닙니다. 아례에 제가 반례를 들어놓았습니다.
참이 되려면 모든 성분이 실수여야 하는데, 어떤 분들은 당연히 고교과정에 그래야 하는 것 아니냐 라고 물으시더라구요
그런건 없습니다. 정확히 가르치실 필요가 있습니다. 문제를 내는 분도 정확하게 내시는 것이 좋습니다.
수능 박중희샘의 실수범위에서의 참인것 해설 : http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/23777
수능 박중희샘 반례(복소수문제로의 반례) : http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/15490
엠샘해설 http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/37669
gonice샘의 질문:
A4=E이면 A2=E 또는A2=-E (복소수 범위에서는 거짓입니다. )
하지만 성분이 모두 실수라면 참이 됩니다.
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/30784
바로 위에 제가 설명해 높은 반례속에도 들어 있답니다.
메시샘의 같은 질문: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/29930
카시오페아샘의 같은 질문: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26501
황진형샘의 열혈답변: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/30787
심장소리샘의 해설: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26508
(추천)엠샘의 고급버전 해설: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26505
엠샘의 노가다 버전 해설: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/26504
고구마97샘 질문: 이차 정사각행렬 A ,B 에 대해 A2B= BA2 이면 AB=BA이다
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/17774
마사샘의 같은 질문:http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/16508
이부분의 명제는 반례륻 들어서 하셔도 좋고, 영인자자이므로 거짓입니다.
요새는샘의 질문
A, B 역행렬이 각각 존재하고, (AB)3 = A3 B3 이면 AB=BA 이다. 가 참인가요 . 거짓인가요?
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/23467
수능박중희샘 해설: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/23778
쿠쿠리샘의 증명: http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/24131 (수정 추가함)
자주 질문이 되는 교육청 기출문제입니다. 2011년 추가
http://cafe.daum.net/beautifulmath/5WWs/48250
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